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平面幾何中輔助線添加的暗示源分析

時間:2019-06-22 20:23來源:畢業論文
摘要 平面幾何是初中數學課程中非常重要的內容,平面幾何中很多復雜的問題需要添加輔助線來解決,輔助線是幾何中溝通已知和未知的橋梁.因此,怎樣添加輔助線對于解決平面幾何問

摘要 平面幾何是初中數學課程中非常重要的內容,平面幾何中很多復雜的問題需要添加輔助線來解決,輔助線是幾何中溝通已知和未知的橋梁.因此,怎樣添加輔助線對于解決平面幾何問題是關鍵的一步.所以它既是學生學習的難點,又是老師教學的重點.輔助線添加的暗示源分析的研究對于幫助學生理解、解決平面幾何中的問題,幫助教師更好的把握問題的關鍵,更好的教學有很大的幫助.研究結果表明對輔助線添加的暗示源可以從兩個方面來分析:根據已知條件添加輔助線的暗示源分析;根據圖形的性質添加輔助線的暗示源分析.關鍵詞 平面幾何;輔助線;暗示源;已知條件; 圖形的性質平面幾何在初中數學中占有重要的地位,而很多復雜的問題都需要添加輔助線來解決.36559
因此,怎樣添加輔助線對于解決平面幾何問題是關鍵的一步,所以它既是學生學習的難點,又是老師教學的重點.輔助線添加的暗示源分析的研究對于幫助學生理解、解決平面幾何中的問題,幫助教師更好的把握問題的關鍵,更好的教學有很大的幫助.1 根據已知條件添加輔助線的暗示源分析在證明平面幾何習題時,一般都從題目的已知條件出發,經過推理證明得出題目的結論.這里,已知條件是證明幾何習題的基礎.因此,從已知條件里能夠找到一些線索來添加輔助線,這正是人們經常運用的一種解題方法.
1.1 暗示源一:已知條件里有中線 (常延長已知中線的一倍)目的是利用全等三角形或平行四邊形的性質,從而變換原圖中某些角或某些線段的位置,使相關的、分散的條件得以集中,以便溝通已知條件與題目結論之間的聯系.例 求證:三角形一邊的中線小于其它兩邊的和的一半已知:在 ABC ? 中, DC DB ? .求證: ) (21AC AB AD ? ?證明: 如圖, 延長AD 到E , 使 DC DE ? ,連接BE .? DC DB ? ,BDE ADC ? ? ? ,AC BE BDE ADCDE AD? ? ? ? ??則,在 ABE ? 中,? AD BE AB 2 ? ? (三角形兩邊之和大于第三邊) ,) (212AC AB ADAD AC AB? ?? ? ?即分析:本題已知有中線,就能得到兩條相等的線段,這就暗示我們構造全等三角形.所以延長中線以構造全等三角形.本題延長中線以后,通過全等三角形對應邊相等的性質,將原圖中的線段 AC 變換至 BE 的位置,從而將相關線段 AD AC AB 、 、 集中于 ABE ? 中,最后利用“三角形兩邊之和大于第三邊”這條定理,使本題得以解決. 論文網 源`自!六^維"論^文;網www.aftnzs.live
1 .2 暗示源二:在解有關圓的問題中,已知條件中有已知弦 (作已知弦的弦心距)目的是利用垂徑定理,以便擴大思路使題目得證.例 如圖,直角三角形兩直角邊AC 長 8 厘米,CB 長 15 厘米,以為C 圓心,CA 為半徑畫弧交斜邊于D,求AD 的長.思路: 因為 ABC ? 為直角三角形, 且兩條直角邊 CB AC、 的長為已知, 所以根據勾股定理,易求出斜邊AB 的長. AD 是斜邊AB 的一部分,而它們之間又沒有量的關系,因此,不添加輔助線,要想直接求出AD 的長是不可能的.為了添出合理的輔助線,還是先從分析已知條件入手,“以C 為圓心,CA 為半徑畫弧交斜邊于D ”是本題的已知條件,對于這個條件我們不妨引申一步,若將此弧所在的圓畫出,AD 便成了此圓的一條弦.作出弦心距AE ,則根據垂徑定理,垂足 E 將欲求的線段 AD 平分,這樣只要求出 AE 的長就可以了,AE 的長可利用射影定理求得.解: 從C 作CE AD ? 于E ,則 ED AE ? (垂徑定理)? ? ? ? 90 ACB ,CE AD ? ,則 AB = 17 15 8 2 2? ? (勾股定理)? ? ? ? 90 ACB ,CE AD ? ,則 AE AB AC • ? 2 (射影定理)? 17642? ?ABAC AE? ? AD1797 217642 ? ? ? • AE答:AD 長 1797 厘米.分析:在本題中條件中有已知弦,知道已知弦就要想到圓的弦的性質,垂直于弦的半徑平分弦.從這里看出暗示我們輔助線的添加方法.1.3 暗示源三:已知切點和圓心 (通常連接已知切點和圓心)目的是利用切線的性質, ,得到垂直關系;或是利用弦切角定理得到兩個角相等的關系,從而為證明提供出新的條件.例 在 ABC ? 中, AC AB ? ,以AB 為直徑作圓O交BC 與D,過D點作圓O的切線,交AC與M .求證: AC DM ?思路:這個題目要證明 AC DM ? ,即要證明兩直線垂直.對于這類問題,一般應設法找到這個欲證的結論與已知條件中的垂直(或直角)的關系,然后以已知條件為依據,推出本題的結論.但是這個題目的已知條件中既無垂直也無直角.為了使其垂直或得到直角,就要設法通過添加輔助線,使已知條件得到轉化而間接推出.由于已知條件里有“DM 與圓O相切”這一條件,根據“過切點的半徑垂直與切線”這一性質,連接圓心O與切點D 以后,即得 DM OD ? ,這樣就為本題推出的結論 AC DM ? 制造了一個關鍵的條件.若再能證出AC OD// ,則本題即可得證.證明: 如圖,連接OD .? DM 切圓O與D.? DM OD ? .? AC AB ?? C B ? ? ? . //AC OD C ODB.,? ? ? ?? ? ? ??于是B ODBOD OB ?AC DM ? ?分析:本題中,已知圓的切線和圓心,看到切線就要想到切線與圓心的關系,切點與圓心的連線垂直于切線,所以這就為我們添加這道題的輔助線提供了依據.1.4 暗示源四: 已知條件中有角平分線當題目中的已知條件中有角平分線時,常按以下情況添加輔助線:(1)如圖 1,若AD 為 BAC ? 的角平分線,可在點D作 AB DB ? , AC DC ? ,以便造成全等的直角三角形:(2)如圖 2,若AD 為 A ? 的平分線,且 AC AB ? 時,可在AB 上截取 AC AE ? ,連接DE ,以便構造全等三角形.(3) 如圖 3, 若AD 為 A ? 平分線, 且 AC AB ? 時, 可延長AC 至E , 使 AE AB ? , 連接DE ,以便構造全等三角形.(4)如圖 4,若 AD 為 A ? 的平分線時,可從C 點作 AD CE ? ,延長交AB 邊與F ,以便利用等腰三角形或全等三角形的性質.2 根據圖形的性質添加輔助線的暗示源分析平面幾何學是研究平面上的幾何圖形的性質、作法和計算等問題的一門學科.平面幾何學中所研究的圖形從最簡單的點、線開始,進而研究三角形、四邊形和圓.研究圖形的性質始終貫穿于平面幾何學的始終,所以輔助線的產生往往也來自于對圖形性質的分析.2.1 暗示源一:過一點作已知直線的平行線例 求證:對角線相等的梯形是等腰梯形.已知:如圖,在梯形ABCD中, AB DC // , BD AC ? .求證:四邊形ABCD是等腰梯形.證明:如圖,從C 作 DB CG // 交AB 的延長線與G ,則 BGCD是平行四邊形? BD CG ? , G ABD ? ? ? . 平面幾何中輔助線添加的暗示源分析:http://www.aftnzs.live/shuxue/20190622/35056.html
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