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關于向量值函數性質的一些研究

時間:2019-06-22 20:22來源:畢業論文
向量值函數的很多性質,如向量值函數的極限、連續性和導數等都和實函數的相應性質相似,本文利用初等方法將實函數上的一些性質平移到一元向量函數上,進而推廣到多元向量函數

摘要 向量值函數的很多性質,如向量值函數的極限、連續性和導數等都和實函數的相應性質相似,本文利用初等方法將實函數上的一些性質平移到一元向量函數上,進而推廣到多元向量函數中。36558
畢業論文關鍵詞 向量值函數;極限;連續性;
可微性當我們所討論的函數僅僅限于只一個自變量或者多個自變量的函數,簡稱一元函數、二元函數和多元函數.如果我們遇到的是多個因變量的函數,例如,在空間內運動質點在t 時刻的坐標( , , ) x y z 可用參數形式的函數描述為( ),( ),( ),x f ty g t t Rz h t? ??? ? ?? ? ?這樣點( , , ) ( ( ), ( ), ( )) x y z f t g t h t ? 形成空間曲線C ,質點的運動軌跡就是用參數方程來描述,我們可以用 ( ) r t?表示從原點到質點在t 時刻的位置 ( ( ), ( ), ( )) P f t g t h t 的向量,那么? ? ( ) ( ), ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) r t OP f t g t h t f t i g t j h t k ? ? ? ? ?? ???? ? ? ?這就是一個自變量t ,三個因變量 , , x y z 的一種情況.上述情況就是一元向量值函數,把 1 n ? 的一元向量值函數的結論推廣到多維空間上,就得出更有用的結論,即自變量和因變量都是多維的一般向量值函數的性質.向量值函數在現實生活中有著非常廣泛的意義,特別是對于一些工程學科的十分有幫助.本文先是給出本科期間實值函數的一元函數、二元函數以及多元函數的函數性質,再通過初等的方法,討論了向量值函數的定義,極限,連續性和可微性,并且證明了一元函數的微分中值定理對于向量值函數不成立.一、向量值函數的定義對于實值函數,我們可以采用集合來定義函數.定義 1.1 若 nX ? R ,Y ? R , f 是X Y ? 的一個子集,對每一個x X ? 都有惟一的一個 y Y ? ,使( , ) x y f ? ,則稱 f 為X 到Y 的實函數.記作: f X Yx y??或簡單地記作 : f X Y ? ,其中X 稱為 f 的定義域.易見,當 2 n ? (或 3 n ? )時,由定義所確定的函數就是我們原來所熟悉的二元(三元)實值函數.而通過觀察最常見的向量函數,如設上述 mY ? R ,例如:平面(或空間)曲線的參數方程就看做 1 n ? , 2 m ? (或 3 m ? )的向量函數;曲面的參數方程是 2 n ? , 3 m ? 的向量函數,由此,我們可以推出一般向量值函數的定義.定義 1.2[1]設D 是n 維空間 nR 的一個子集,若對于D 中任何一個向量 源`自!六^維"論^文;網www.aftnzs.live
1 2 [ , , ]Tn x x x x ??? ,依據某一個法則 f ,有m 維空間 mR 中唯一的一個向量 1 2 [ , , ]Tm y y y y ???? 與之對應,則稱 f??是定義在D上的一個向量值函數,記作: ,mD Rx y? f? ??? (1.1)D稱為函數 f??的定義域, y??稱為 f??在點x?的函數值.向量值函數式(1.1)的每個分量是 1 2 , ,n x x x ? 的一個n 元實函數,1 2 ( ) ( , , ), 1, 2, ,i i n f f x x x i m ? ? x??? ?而式(1.1)對應于m 個n 元數量值函數:1 1 1 1 22 2 2 1 21 2( ) ( , , ),( ) ( , , ),( ) ( , , ).nnm m m ny f f x x xy f f x x xy f f x x x? ? ??? ? ????? ? ?xxx??? ????? ???為了運算方便, 常把 nR 與 mR 中的向量寫成列向量.這時, 記 1 2 [ , , ]Tn x x x x ??? , 則式 (1.1)可表示為1 1 1 2 12 2 1 2 21 2( ) ( , , )( , , ) ( ).( , , ) ( )nnm m nmf f x x x yy f x x x fyy f x x x f? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?xxx??? ???? ?? ? ????特別當 1 m ? 時,函數值 y 是一個實數,這時,1 2 ( ) ( , , ) n y f x f x x x ? ??? 是一個實函數.通過集合的方法(從自變量和因變量的維數)來定義函數,我們可以發現因變量的維數為 1,函數分別就是一元、二元和多元函數.當因變量的維數大于 1時,就可成為向量函數.所以向量值函數是實值函數在維數上的推廣.二、向量值函數的極限有很多方法可以定義函數的極限,我們這里采用 - ? ? 來定義函數極限.實值函數中,以一元函數和二元函數為例,要求 f 在定義域D 上有定義,A 是定數, 0 P 是一聚點,若對任意給定的 0 ? ? ,存在 0 ? ? ,使得 0 U P P D ? ? ? ?( ; ) 時,都有( ) f P A ? ? ? .則稱 f 在D上當 0 P P ? 時,以A 為極限,記作 0lim ( )P Pp Df P A ??? .用 - ? ? 來定義向量值函數極限如下:定義 2.1 設 f??為定義在 nD R ? 上的向量值函數, 0x???是D的一個聚點,a?是一常數向量,若對任意給定的 0 ? ? ,存在 0 ? ? ,使得 0U D ? ? ? x x ??? ??( ; ) 時,都有( ) f x a ? ? ??? ? ?.則稱 f??在D上當 0? x x?? ??時,以a?為極限,記作 0lim ( )x xx Df x a??? ??? ???? ? ?.我們知道在二元函數中,若累次極限和重極限都存在的情況下,可以通過求累次極限求出重極限.同樣地,利用向量值函數的分量表示,向量值函數的極限可以化為數量函數的極限討論.定 理 1 設 : ,m nD R D R ? ? f , 且 1 2 [ , , ]Tm f f f ? f??? , 1 2 [ , , ]Tm a a a a ??? , 則0lim ( )x xf x a?? ??? ??? ? ?的充要條件是 關于向量值函數性質的一些研究:http://www.aftnzs.live/shuxue/20190622/35055.html
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