畢業論文

打賞
當前位置: 畢業論文 > 數學論文 >

數學分析中的反例

時間:2019-06-22 20:20來源:畢業論文
主體上采用對定理提出疑問并解答的方式, 構造恰當的反例深入探討和研究了數學分析中一元函數與多元函數關于極限、連續性、可導、可積、可微等方面的相關問題

摘要 《數學分析》是一門重要的基礎課程,它在學生學習其他數學課程的過程中發揮了不可或缺的作用.本文主體上采用對定理提出疑問并解答的方式, 構造恰當的反例深入探討和研究了數學分析中一元函數與多元函數關于極限、連續性、可導、可積、可微等方面的相關問題.本文還針對數列和數項級數中易混淆概念和定理,深入細致地進行了系統的總結研究.在學習中,借助具體的反例能鞏固和加深學生對概念的理解,對定理的條件和結論的全面把握,提高學生辨析判斷能力,促進新理論的產生.36557
畢業論文鍵詞 數學分析; 函數; 反例;
定理在數學的學習中,有時不容易用理論來說明命題的成立與否,對于不成立的命題,構造恰當的反例,能有效地幫助我們清楚地進行判斷.反例是針對數學命題而言的,反例的構造有助于反駁與糾正錯誤的數學命題.在數學分析中存在大量的反例,當一個定理或命題的條件減弱或是使用范圍變化了,都需要用反例來驗證它們的成立于否.反例能幫助人們深入的理解有關數學對象的性質,能推動數學科學發展,也能促進人的辯證思維方式的形成
.1 一元函數中的反例
1.1一元函數極限中的反例定理 1.1.1 設 A x fx x??) ( lim 0, B x fx x??) ( lim 0. 若在某 ) ( 00x U 內, ) ( ) ( x g x f ? ,則B A ? .問題 1 若在某 ) ( 00x U 內, ) ( ) ( x g x f ? ,問是否必有 B A ? ?解 不一定有 B A ? .例如 0 ) ( ? x f , 2) ( x x g ? .在 ? ? 0 0U 內有 ) ( ) ( x g x f ? ,但? ? 0 ) ( lim lim 0 0? ?? ?x g x fx x.問題 2 若 B A ? ,則在某 ) ( 00x U 內是否有 ) ( ) ( x g x f ? ?證 有 ) ( ) ( x g x f ? .由函數極限的定義,對 02???B A? ,分別存在正數 1 ? 與 2 ? ,使得當 1 0 0 ? ? ? ? x x 時有23) (2B AA x f AB A ?? ? ? ? ? ??? ?,當 2 0 0 ? ? ? ? x x 時,2) (23 B AB x g BA B ?? ? ? ? ? ??? ?.于是取 ? ? 2 1, min ? ? ? ? ,則當 ? ? ? ? 0 0 x x 時,有223) (2) (23 B Ax fB Ax gA B ?? ??? ??.即當 ) , ( 00? x U 時,有 ) ( ) ( x g x f ? .定理 1.1.2 若 A x fx??) ( lim 0,則 A x fx??) ( lim 20.問題 1 若 ) ( lim 20x fx?存在,試問是否成立 ) ( lim ) ( lim 20 0x f x fx x ? ?? ?解 不一定成立.例如?????? ???? ?. 0 , 1, 0 , 0, 0 , 1) sgn( ) (xxxx x f 則?????? ?. 0 , 0, 0 , 1sgn ) (2 2xxx x f1 ) ( lim 20??x fx,但 ) ( lim 0x fx?不存在.問題 2 若 ) ( lim 30x fx?存在,試問是否成立 ) ( lim ) ( lim 30 0x f x fx x ? ?? ?證 ) ( lim ) ( lim 30 0x f x fx x ? ?? 成立. 設 A x fx??) ( lim 30. 則 0 ? ?? , 0 1 ? ?? , 使得當 1 0 ? ? ? x時, 有 ? ? ? A x f ) (3. 取 031 ? ? ? ? , 則當 ? ? ? x 0 時, 130 ? ? ? x , 從而有 ? ? ? A x f ) ( ,故有 ) ( lim ) ( lim 30 0x f x fx x ? ?? .例 1.1.1[1]在運用洛必達法則求不定式極限時,會遇到下面問題:(1)若 ) () (lim 0 x gx fx x ???不存在,能否說明 ) () (lim 0 x gx fx x?不存在?(2)能否對任何比式極限都按洛必達法則求解?解 在運用洛必達法則求解時,首先必須注意它是不是不定式極限,其次還要滿足洛必達法則的其他條件.下面的例子就能解決上面的疑問.例如 1sinlim ??? ? xx xx.雖然是?? 型,但若果不考慮條件就使用洛必達法則,將得出1cos 1lim sinlim xxx xx x????? ? ?? ?.由右式的極限不存在容易得到原極限不存在的錯誤結論.1.2一元函數連續性中的反例定理 1.2.1 若 f 在點 0 x 連續,則 f 與 2f 也在點 0 x 連續.問題 1 若 f 或 2f 在I 上連續,那么 f 在I 上是否連續?解 f 在I 上不一定連續. 例如?????. , 1, , 1) (為無理數為有理數xxx f f 和 2f 在R 上連續, 而 f 在R上不連續.定理 1.2.2 f 在? ? ?? , a 上連續,且 ) ( lim x fx ?? ?存在,則 f 在? ? ?? , a 上有界.問題 1 f 在? ? ?? , a 上必有最大值或最小值嗎?解 f 在 ? ? ?? , a 上不一定有最大值或最小值.例如 xx f1) ( ? 在 ? ? ?? , 1 上連續,0 ) ( lim ??? ?x fx,但 ) (x f 在? ? ?? , 1 上無最小值.定理 1.2.3 設I 為有限區間,若 f 在I 上一致連續,則 f 在I 上有界.問題 1 當I 為無限區間時,結論是否成立?解 結論不一定成立.例如 ) , ( , ) ( ?? ?? ? ? x x x f . 0 ? ?? ,由于x x x f x f ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) ( ) ( ,故可選取 ? ? ? ,則對任何 ) , ( , ?? ?? ? ? ? ? x x ,只要 ? ? ? ? ? ? x x ,就有? ? ? ? ? ? ) ( ) ( x f x f .這就說明 f 在R 上一致連續,但 f 在R 上無界.定理 1.2.4 g f , 在區間I 上一致連續,若I 為有限區間, g f ? 在I 上一致連續.問題 1 若I 為無限區間,結論是否成立?解 結論不一定成立.例如 x x g x f ? ? ) ( ) ( , ? ? ?? ? , 0 I . g f , 在區間I 上一致連續.但2) ( ) ( x x g x f ? ? 在? ? ?? , 0 上不一致連續.事實上, I x x ? ? ? ? ? , , x x x x x x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 2,當 ? ? ? ? ? ? x x 時,只須取 ??? ? ? ? ? x x ,便有 ? ? ? ? ? ?2 2x x ,不滿足一致連續定義.1.3一元函數可導與連續的關系定理 1.3.1 若函數 ) (x f 在點 0 x 可導,則函數 ) (x f 在 0 x 連續.問題 1 若函數在一點連續,函數在該點是否一定可導?解 函數在該點不一定可導.例如 x x f ? ) ( 在 0 ? x 連續,但在 0 ? x 不可導.問題 2 若 ) (x f 在 0 x x ? 處可導, ) (x f 在 0 x x ? 處是否有連續導數?解 ) (x f 在 0 x x ? 處不一定有連續導數.例如? ?????? ?. 0 , 0, 0 ,1sin) (2xxxxx f 在 0 ? x 處可導但導數不連續.事實上, 數學分析中的反例:http://www.aftnzs.live/shuxue/20190622/35054.html
------分隔線----------------------------
推薦內容
双色球走势图带连线