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凸函數的性質及其應用

時間:2019-06-22 20:19來源:畢業論文
摘要 凸函數是數學中的一種重要函數,它廣泛應用于競賽數學、泛函分析、最優化理論、數理經濟學等領域.由于數學分析教材中對凸函數的介紹較為零碎,為使大家對凸函數有一個較

摘要 凸函數是數學中的一種重要函數,它廣泛應用于競賽數學、泛函分析、最優化理論、數理經濟學等領域.由于數學分析教材中對凸函數的介紹較為零碎,為使大家對凸函數有一個較全面的了解,本文將對凸函數的概念及其性質作詳細介紹,并重點講解其在證明不等式中的應用.以外,我們還將對凸函數做一個更深入的拓展,將我們所學的一元凸函數拓展到多元凸函數、平方凸函數、幾何凸函數和調和凸函數等,并給出與之相應的定義及部分判定定理. 關鍵詞 凸函數;性質;判定定理;不等式應用  在華東師范大學的數學分析教材中,我們介紹了函數的單調性與極值,這對函數性狀的了解起到了很大的作用.為了更深入和精確地掌握函數的性狀,我們將引入函數的凸性概念,即凸函數. 凸函數的基礎是由Jenson于1906年左右建立的. 36555
下面,我們將詳細講解凸函數性質和應用. 首先我們來給出凸函數的幾個基本概念.
  1 凸函數的基本定義[1] 定義1.1  設?是區間?上的函數,若對?上任意兩點?1,?2和任意實數λ ∈ (0,1)總有  ?(λ?1 + (1 − λ)?2) ≤ λ?(?1) + (1 − λ)?(?2),   (1) 則稱?為?上的凸函數,反之,若有 ?(λ?1 + (1 − λ)?2) ≥ λ?(?1) + (1 − λ)?(?2),   (2) 則稱?為?上的凹函數. 如果(1)中 “≤”改為“<” ,則相應的函數稱為嚴格凸函數(同理可定義嚴格凹函數) .由于凸函數與凹函數是對偶的概念,故有相對應的結論.今后,我們一般將只對凸函數進行討論.   幾何意義  設?1 < ?2,因為λ ∈ (0,1),所以 ? ? λ?1 + (1 − ?)?2 < λ?2 + (1 − ?)?2 = ?2, ? ? λ?1 + (1 − ?)?2 > λ?1 + (1 − ?)?1 = ?1. 故? ∈ (?1,?2),且當λ從 0連續變化到1時,?也從?2連續變化到?1.我們連接曲線? =?(?),(? ∈ ?)上兩點 ? .?1,?(?1)/  ,  ?  .?2,?(?2)/ . 作弦AB,則AB的方程為 ? − ?(?2)?(?1) − ?(?2)=? − ?2?1 − ?2  . 若將上式比值記為λ,則得弦AB的參數方程為: {  ? = ??(?1) + (1 − ?)?(?2),? = ??1 + (1 − ?)?2  . 這表明,在點? = ??1 + (1 − ?)?2處, 弦AB的高度為? = ??(?1) + (1 − ?)?(?2).可見,不等式(1)說明在(?1,?2)內每點?處,曲線? = ?(?)的高度不超過弦AB的高度.也就是說,曲線在弦AB以下,對曲線上任意兩點A, B都是如此.因此,凸函數意味著函數圖形向下凸,故又稱之為下凸函數,而凹函數又稱之為上凸函數. 論文網除此定義之外,還有其他形式的定義. 凸函數的性質及其應用:http://www.aftnzs.live/shuxue/20190622/35053.html
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