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復雜積分的概率算法研究

時間:2019-06-16 12:06來源:畢業論文
結合數學中求解定積分的數學原理和求解方法,引入了三種求解復雜定積分的概率算法.這三種算法主要通過積分轉化為某隨機變量函數的數學期望和隨機抽樣來快速計算復雜積分.本文介

摘要 本文結合數學中求解定積分的數學原理和求解方法,引入了三種求解復雜定積分的概率算法.這三種算法主要通過積分轉化為某隨機變量函數的數學期望和隨機抽樣來快速計算復雜積分.本文介紹了三種求解復雜定積分的概率算法,這三種算法可以幫助我們解決生活中遇到的一些復雜定積分的應用問題.36365
畢業論文鍵詞 復雜積分;定積分;概率算法;數學期望;數值積分
一、問題的提出概率論是一門研究隨機現象的數學規律的學科,它最早起源于賭博問題.費馬、惠更斯對這個問題首先進行了研究和關注.后來由于社會科學的進步和工程技術的需要,促使概率論得到了飛速發展.現在生活中的賭博問題,彩票問題,股票問題以及各種各樣的包含不確定性的問題都涉及到概率的研究性.發展到今天,概率論以及以它為基礎的數理統計學科等,在自然科學、社會科學、技術工程、軍事科學以及社會生活等諸多領域起到了不可替代的作用.概率論越來越大的影響以及人們對概率論愈來愈高的覺醒, 為我們的學科帶來了新的機遇[1,2].因此來研究概率論在數學方面中的應用問題對人們生活水平的提高和社會的進步具有重要的意義.定積分和不定積分是積分學中的兩大基本問題,它貫穿了整個數學史.而求解定積分的基本方法是:牛頓—萊布尼茲公式等一些具有局限性要求的公式,然而在實際問題中當碰到以下情況時:
(1)被積函數是用函數表格提供的;
(2)被積函數極為復雜,求不出原函數,或者可以求出原函數,但形式復雜不易計算等,這些情況通常很難使用該公式計算.因此,牛頓—萊布尼茲公式等一些計算積分值的公式便無用武之地,無法進行求解計算.而目前存在的幾種計算復雜積分的方法而言, 都具有一定的局限性.不同的計算方法所要求的的前提或已知條件不盡相同.本文針對這種情況,結合概率論中求解數學期望的方法,研究了幾種有效計算復雜積分的概率算法.二、幾種求解定積分的概率算法概率論是一門研究隨機現象的學科,它通過大量重復的試驗,以頻率來估計概率,進而來估算所研究問題發生的概率大小.隨著現代科學技術的快速發展,概率知識與我們的生活越來越息息相關,在社會生活和社會生產的眾多領域都涉及到概率理論的研究.概率算法不僅解決了生活中的一些數學難題,而且對于生活中涉及積分計算的問題也有著重要的作用.下面我們就來研究幾種使用概率理論來表示定積分的近似計算問題.1 隨機投點法它的中心思想是:在矩形區域中隨機均勻的投點,以落入所求積分所在的區域的概率,來估計定積分的值.從而可以利用計算概率來達到計算復雜定積分的目的.如下圖 1 所示:設 ? ? f x 是區域D上的連續函數, ? ? ? ? ? ? ?? , : , , , D x y x a b y c d ? ? ? , ? ? 0 f x M ? ? ,那么定積分 ? ?baJ f x dx ? ? 就是由曲線 ? ? x f y ? 、x 軸以及直線x a ? 和直線x b ? 所圍圖形 A的面積.根據幾何概型的概率計算方法有: ? ?ADP A ?事件 區域的面積區域 的面積 ,那么事件A 區域的面積= ? ? P x ? 區域D的面積.現在假設向區域D中隨機均勻投點n 次,落入A 區域中的次數為m 次,設事件A 所在區域的面積為s ,區域D所在的面積為 ) ( ) ( c d a b k ? ? ? ? ,故有 ks=nm ,從而有 ? ? ? ?m s k b a d c p Jn? ? ? ? ? .由于每次投點的結果或者落在區域 A中, 或者落在區域D中,即服從二點分布,故m 服從二項分布 ? ? , b n p ,且 nm p ? ,故可以得到 J 的一個估計:? ? ? ? ˆ J b a d c p ? ? ?證明:? ? ? ? ˆm k kE J E k E m np kpn n n? ?? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? b a d c p ? ? ?J ?步驟如下:(1)獨立的產生n 組區域D上均勻分布的隨機數,? ? ? ? ? ? 1 1 2 2 , , , , , ,n n x y x y x y ? ,其中? ? ? ? , , , x U a b y U c d ? ? ;(2)統計 ? ? y f x ? 的次數m ;(3)用 nm 來估計 J .由隨機投點法的計算過程,我們由此可以知道,如果一些復雜積分難以直接計算,但是卻可以利用計算機計算出它在一定條件下發生的概率,那么我們就可以用這種隨機投點的方法,求出其數學期望,從而來估算定積分的值.2 均值法設 ? ? f x 為閉區間? ? b a, 上的連續函數, ? ? b a, 是R 上的任意閉區間.若 ? ? f x 非常復雜或不能用初等函數表示時,由數學期望的定義可知:? ?? ?? ?? ? ( )b ba af xJ f x dx g x dxg x? ? ? ?? ?? ?XXfEg? ?? ? ? ? ?? ?其中 ? ? g x 為 ? ? , U a b 上隨機變量的一個密度函數且 ? ? 0 g x ? , ? ? ? ? , x g x U a b ? ? .由矩估計[3]可得:? ?? ?X ˆXfJ Eg? ?? ? ? ? ?? ?? ?? ? 11, 1, 2, , ngnii if xin x ?? ? ? ?步驟如下:(1)從 ? ? g x 所在的分布中隨機抽取n 個隨機數 n x x x , , , 2 1 ? ;(2)計算 ? ?? ?iif xg x;(3)用 ? ?? ?? ?ni iix gx fn 11來估計 J .由均值法的計算過程,我們可以發現利用概率方法來計算一些復雜的積分,十分方便有效.因此工業生產中一些難以直接用數學方法計算的涉及到積分的應用問題,我們可以根據實際情況,分析問題,轉換積分形式,尋找方便、有效的解決方法. 復雜積分的概率算法研究:http://www.aftnzs.live/shuxue/20190616/34775.html

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