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一類推廣的函數列的積分中值點的漸近性

時間:2019-06-16 10:00來源:畢業論文
摘要 主要研究一類推廣的函數列積分中值點的漸近性,這類函數列在定義區間內滿足非負性、連續性,并且是嚴格單調的,得到了幾個推廣的函數列積分中值點相關的收斂性定理. 3632

摘要 主要研究一類推廣的函數列積分中值點的漸近性,這類函數列在定義區間內滿足非負性、連續性,并且是嚴格單調的,得到了幾個推廣的函數列積分中值點相關的收斂性定理. 36327
關鍵詞 推廣的積分中值定理;函數列;漸近性;積分中值點  1
、引言 社會在發展、科技在進步,數學的發展也隨之進行.在數學的各個分支中,微積分的創立,為數學的發展奠定了不可動搖的基礎.積分中值定理是函數和其積分之間關系的紐帶,同時也是用積分來研究函數的分析性質或者用函數來研究積分的相關性質的有效方法,是微積分學中的基本定理.文獻[1]中有關積分中值定理的部分為本文作了充分的知識鋪墊.該定理說明了函數積分中值點是存在的,中值點的具體位置根據函數的性質確定.積分中值點漸近性的研究已經比較廣泛,如文獻[2-5].研究的內容主要包括:函數積分中值點的漸近性;將區間長度趨于零,或者趨于無窮大,論文網或者區間端點同時趨于區間內一定點時函數積分中值點的漸近性;將漸近性結果應用到誤差估計和收斂速度中去等.本文主要討論了非負連續嚴格單調函數列在推廣的第一積分中值定理條件下的積分中值點的漸近性.  2、預備知識 以下是文獻[1]中推廣的積分第一中值定理,下文的主要定理都將引理1作為命題的條件. 引理1  (推廣的積分第一中值定理)若函數() fx和() gx都在[ , ] ab上連續,且() gx在[ , ] ab上不變號,則[ , ] ab ? ??,使得 ( ) ( ) ( ) ( )bbaaf x g x dx f g x dx ? ? ??. 證    不妨設( ) 0 gx ?,[ , ] x a b ?,這時有( ) ( ) ( ) ( ) mg x f x g x Mg x ??,[ , ] x a b ?, 其中M和m分別是() fx在區間[ , ] ab上的最大值和最小值.由積分的不等式性,得 ( ) ( ) ( ) ( )b b ba a am g x dx f x g x dx M g x dx ?? ? ? ?, 若( ) 0bag x dx ? ?,則由上式知( ) ( ) 0baf x g x dx ? ?,從而對任何 [ , ] ab ? ?,結論都成立. - 2 -  若( ) 0bag x dx ? ?,則得 ( ) ( )()babaf x g x dxmMg x dx????, 由閉區間上連續函數的介值性,[ , ] ab ? ??,.. st   ( ) ( )()()babaf x g x dxfg x dx? ???, 這就證得引理1成立. 以下的引理 2 和引理 3 是文獻[2]中的主要定理,探討了非負連續嚴格單調函數列的積分中值點在區間內的的漸近性,對本文有一定的啟發作用. 引理2 設() fx是區間[0,1]上的連續函數,() fx 0 ?,且嚴格單調遞增,, nN? ?? [0,1] n ? ??,.. st10( ) ( )nnn f f x dx ? ? ?,則lim 1 nn????. 引理2說明非負連續嚴格單增函數積分中值點是收斂的,且收斂于區間端點.相關證明詳見文獻[2],這里就不再贅述了.此外對于() fx在區間上嚴格單減時的情形文獻[2]還給出了相應結論,如下引理3. 引理3 設() fx是區間[0,1]上的連續函數,() fx 0 ?,且嚴格單調遞減,, nN? ?? [0,1] n ? ??,.. st10( ) ( )nnn f f x dx ? ? ?,則lim 0 nn????. 本文主要是在引理2和引理3 的基礎之上,將引理 2中所用到的關于函數列()nfx的積分第一中值定理等式延伸到利用函數列()nfx以及另一個可積函數() gx的推廣的積分第一中值定理等式,并且對可積函數() gx要求在區間上不變號,最后仍得到原命題的結論,也就是函數列()nfx的積分中值點仍然收斂,并且極限是原命題中的極限值.這就是下文定理1的內容,后面又類似的得到其他三個結論,也就是定理2 至定理4. 3、主要定理 定理1 設() fx是區間[0,1]上的連續函數,( ) 0 fx ?,且嚴格單調遞增,函數() gx在[0,1]上可積、 不變號,, nN? ??[0,1] n ? ??,.. st1100( ) ( ) ( ) ( )nnn f g x dx f x g x dx ? ? ??, 則lim 1 nn????. 一類推廣的函數列的積分中值點的漸近性 :http://www.aftnzs.live/shuxue/20190616/34729.html
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