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矩陣序列遞推求極限

時間:2019-06-14 23:52來源:畢業論文
1摘要: 在高等代數中,只討論了矩陣的加(減)法、乘法和求逆為核心的代數運算,而沒有涉及到類似于數學分析中的極限等運算.可是,在研究數值方法以及線性系統的可控制等方面

1摘要: 在高等代數中,只討論了矩陣的加(減)法、乘法和求逆為核心的代數運算,而沒有涉及到類似于數學分析中的極限等運算.可是,在研究數值方法以及線性系統的可控制等方面的問題時,這些運算又是十分必要的.本文主要根據遞推數列求極限類比到遞推矩陣序列求極限的問題.關鍵詞: 矩陣序列;極限;特征值一、預備知識1)定義:設有矩陣序列{) (kA },其中 ) (kA = n n kijC a ?? ) () (, 且當 ? ? k ,ijkija a ? ) (,則稱{) (kA }收斂,并把矩陣 ) ( ija A ? 叫做{) (kA }的極限,記為 A A kk?? ?) (lim 或者 A A k? ) (.2)定理:每一個n 級復矩陣A 都與一個若爾當形矩陣相似.3)命題 1:設 B A, 均為n 階半正定實對稱矩陣,且滿足 n A r n ? ? ? ) ( 1 ,則存在實可逆矩陣C ,使 AC CT和 BC CT均為對角陣.4)命題 2:實對稱矩陣A 是半正定的充分必要條件是A 的一切主子式全大于零或等于零.5) 命題 3:設若爾當形矩為i iJ???????????????????11? ? ,則 0 lim ?? ?kkJ 的充要條件為0 lim ?? ?kk? .6)命題 4:遞推數列 n a 滿足 ? ? ? ? ?1 n n a a ,已知 1 a ,其中 1 ? ? ,則有? ? ??1) 1 (11lim ?? ?? ? ??? ? nna .7 ) 36276
命 題 5 : 遞 推 數 列 n a 滿 足 2 1 ? ? ? ? n n n qa pa a , 已 知 2 1,a a , 其 中1 . 0 , 0 ? ? ? ? q p q p ,則有 1 1 21 2 1) ( ) 2 (1lim a a a pqa q aann? ? ? ???? ?? ?.二、遞推矩陣序列求極限定理 1 設矩陣序列 } { n M 滿足 B AM M n n ? ? ?1 , 已知 1 M 為 m k ? 矩陣, 其中A 為k 階方陣且A 的特征值 1 ? ? ,B 為 m k ? 矩陣,則 nnM ? ?lim 存在.證明 因 B AM M n n ? ? ?1 ,則有B AM M n n ? ? ?1 ○ 1B AM M n n ? ? ?1 ○ 2B AM M n n ? ? ? ? 2 1 ○ 3……B AM M ? ? 1 2 ○ n以 1 2, , ,? nA A A ? 依次從右邊乘○ 2 , ○ 3 ,……, ○ n ,然后再把n 個式子一起加起來,得B A A E M A M n nn ) (11 1?? ? ? ? ? ? ?又因) )( (1 ?? ? ? ? ? ? n nA A E E A E A ?因 A 的特征值 1 ? ? ,有 E A? 可逆.故有) ( ) (1 1E A E A A A E n n? ? ? ? ? ? ? ??從而有B E A E A M A M n nn ) ( ) (11 1 ? ? ? ? ??要想使 nnM ? ?lim 存在,只要使 nnA ? ?lim 存在即可.下證 nnA ? ?lim 存在.因 A 為 k 階 方 陣 , A 的 特 征 值 為 s? ? ? , , , 2 1 ? , 相 應 的 重 數 為 st t t , , , 2 1 ? , 且k t t t s i t s i? ? ? ? ? ? ? ? 2 1 . , , 2 , 1 , 1 .故存在k 階可逆矩陣P ,使1??????JJ論文網 源¥自%六^^維*論-文+網=www.aftnzs.live
3因 1 ? i? ,有 0 lim ?? ?kik? ,由命題 3 知 0 lim ?? ?kikJ , s i , , 2 , 1 ? ? .故有 0 lim ?? ?nnA .由此可得B E A Mnn11 ) ( lim ??? ?? ? ?可見這個遞推矩陣序列 } { n M 與命題 4 有異曲同工之處.定理 2 設矩陣序列 } { n M 滿足 1 1 ? ? ? ? n n n BM AM M ,已知 2 1,M M 都為k 階方陣,其中A 為k 階正定實對稱矩陣, B 為k 階半正定實對稱矩陣, 且 B A ? 特征值全為1.則 nnM ? ?lim存在.在證明這個命題之前先看一個命題 1 的推論.推論:設 B A, 均為k 階半正定實對稱矩陣,則存在實可逆矩陣C ,使 AC CT和 BC CT均為對角陣.證明 因 B A, 均為k 階半正定實對稱矩陣.分情況討論.若 k B A r ? ? ) ( 時,故存在k 階可逆矩陣P ,使kTE P B A P ? ? ) (因 AP PT為實對稱矩陣,故存在正交矩陣Q,使C APQ P QkT T△???????????????1令 PQ D ? ,則有kTE D B A D ? ? ) ( , C AD DT? 矩陣序列遞推求極限:http://www.aftnzs.live/shuxue/20190614/34645.html
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