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有限維群表示的Schur’s 引理

時間:2019-05-19 11:09來源:畢業論文
通過對數域上有限維線性空間概念的推廣—有限群上的模的概念介紹及相關性質的討論,著重證明了Schur’s 引理的兩個基本形式,即與群作用可交換的不可約模線性映射是同構,特別是

摘要本課題通過對數域上有限維線性空間概念的推廣—有限群上的模的概念介紹及相關性質的討論,著重證明了Schur’s 引理的兩個基本形式,即與群作用可交換的不可約模線性映射是同構,特別是在代數閉域復數域上此同構只能是數量同構。35549
畢業論文關鍵詞:可約表示、線性變換、同構映射、模
Abstract
This dissertation emphatically proves two basic forms of the Schur’s Lemma through introducing the concept and discussing some related properties of module over a finite group which is a generalization of the notation of vector space over a field.The lemma tells us a homomorphism on an irreducible module is an isomorphism, especially is a scalar  isomorphism over complex number field.
Keywords: reducible representation, linear transformation, isomorphic mapping,  module
目錄
摘要    3
Abstract    3
第一章 緒論    4
1.1課題的目的和意義    4
1.2國內外研究現狀和發展趨勢    4
1.3研究內容    5
第二章 預備知識    5
2.1 線性空間相關知識    5
2.2 模的定義及其一些性質    8
2.3 群表示定義    12
第三章  Schur’s 引理的證明    13
3.1 有限維表示下Schur’s 引理    14
3.2 有限維復表示下Schur’s 引理    16
第四章 總結    18
參考文獻    18

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謝辭    19第一章 緒論
1.1課題的目的和意義
    Schur’s引理是群與代數的表示論中一個初等但非常有用的命題。在群的情形是說,如果 與 是群 的兩個有限維不可約表示, 是從 到 的與群作用可交換的線性映射,那么 可逆或 。一個特例是 而 是一個到自身的映射。這個引理以伊賽•舒爾命名,他使用這個引理證明了舒爾正交關系,奠定了有限群的表示論的基石。Schur’s引理可以推廣到李群與李代數,其最通常的形式屬于雅克•迪斯米埃理論,在量子物理數學的各領域中均有重要應用,是數學中抽象代數的一支。旨在將代數結構中的元素“表示”成向量空間上的線性變換,藉以研究結構的性質。Schur’s 引理在表示論里是一個既簡單又重要的結論,本課題著重討論群的有限維線性表示中該引理的出現形式。
1.2國內外研究現狀和發展趨勢
Schur’s引理是表示理論中一個非常重要的結論。當代研究已經將一般Schur’s引理推廣到0階化Schur’s引理,而一般Schur’s引理作為0階化Schur’s引理的特殊情形這種階化的推廣具有良好的理論意義。首先在模表示理論中的一個Schur’s引理的基礎上,推廣得到0階化Schur’s引理,一般的Schur’s引理是0階化Schur’s引理的特殊情形。然后,作為Schur’s引理的一個應用,在李代數模的Casimir元素的基礎上,定義并討論了李超代數模的Casimir元素,得出了李超代數模的Casimir元素是數乘變換的一個充分條件。Schur’s引理逆命題證明出來后,恒成立的Artin環實質上就是局部環。多元函數的Schur’s—凸性理論是重要的研究課題,國內外眾多學者討論多元函數的Schur’s—凸性問題。某些著名平均值(如算術平均,幾何平均,調和平均,根平方平均等)的商進行了討論,并研究了Schur’s—凸性、Schur’s—幾何凸性以及Schur’s—調和凸性問題,得到了幾個一般結果。這對探索數學物理問題中幾類無限維分次李代數的形變理論做出了巨大的貢獻。一般地,Schur’s引理的逆命題并不成立,有預投射分支的有限表示型代數都是這種反例。從1904年到1910年,Hilbert連續在文章中應用矩陣來研究積分方程,然后又將積分方程應用到數學物理問題中。1925年,海森堡(wemer Heisenberg)的無窮矩陣理論被應用到量子論上,矩陣力學形成。1927年,希爾伯特等人開始用積分方程等分析工具研究量子理論,在抽象希爾伯特空間中研究量子力學特征值等問題。20世紀40年代,由于電子計算機的應用,數學向其它科學領域廣泛滲透。現代數學在向外滲透的過程中,數學的核心領域越來越抽象,許多高度抽象的理論被證實是其它科學和生產實踐普遍使用的工具。作為工具的矩陣又有了新的含義,特別是在矩陣的數值分析等方面。1947年,諾依曼與戈德斯坦發表論文《高階矩陣數值求逆》,處理了高階矩陣的求逆問題。20世紀50、60年代,隨著現代數字計算機的飛速發展和廣泛應用,許多實際問題可以通過離散化的數值計算得到定量的解決。如利用矩陣借助于計算機實現了線性代數方程組的近似求解問題。于是作為處理實際問題的矩陣代數,成為從事科學研究和工程設計的科技人員必備的數學基礎。 有限維群表示的Schur’s 引理:http://www.aftnzs.live/shuxue/20190519/33553.html
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