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變量代換法在微分方程求解中的應用

時間:2019-04-27 20:17來源:畢業論文
探討了三種常用的變量代換法—函數變換法、 變換法和 變換法,利用相關性質和定理,分析其在求解不同類型微分方程中的方法和技巧,并結合具體的實例加以說明

摘 要:本文主要探討了三種常用的變量代換法—函數變換法、 變換法和 變換法,利用相關性質和定理,分析其在求解不同類型微分方程中的方法和技巧,并結合具體的實例加以說明.
畢業論文關鍵詞:微分方程;函數變換法; 變換法; 變換法34991
Application of Variable Substitution Method in Solving the Differential Equations
Abstract:This paper mainly discusses the three kinds of common variable substitution method—the function transform method,the Fourier transform method and the Laplace transform method,using the relevant properties and theorems, analyze the methods and techniques in solving differential equations of different types,and connect with the concrete examples to illustrate.
    Key words:Differential equations;Function transform method;Fourier transform method; Laplace transform method
目    錄
摘 要    1
引言    2
1.基本理論    3
2.函數變換法    5
2.1求解常系數線性微分方程    5
2.2求解變系數線性微分方程    7
3. 變換法    9
3.1求解波動方程初值問題    9
3.2求解熱傳導方程初值問題    11
4. 變換法    12
4.1求解常微分方程    12
4.2求解偏微分方程    14
參考文獻    17
致謝    18
變量代換法在微分方程求解中的應用引言
微分方程是聯系著自變量、未知函數以及未知函數的某些導數的關系式.它是數學學科的一個重要分支,在數學、物理化學乃至生物學中都有著廣泛的應用,這就使得對求解微分方程的研究變得尤為重要.對于一些簡單的微分方程,采用分離變量法、常數變易法等是很容易求出來的;但是,對于一些形式復雜的微分方程,運用初等積分法來求解,通常過程會相當繁瑣,甚至有時會求不出結果.然而借助合適的變量代換法,可將復雜的微分方程化為可解類型,這就大大簡化了計算過程,節省了大量的勞力物力.因此,對變量代換法在微分方程求解中的應用的研究具有非常重要的意義.
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目前,有很多文獻對變量代換法求解微分方程做出過探討.其中文獻[2]通過作函數變換,將 方程化為簡單的變量可分離方程,然后求出其解;文獻[7]利用 變換法求解熱傳導方程的定解問題,即通過作 變換,將熱傳導方程的初值問題轉化為常微分方程的初值問題;文獻[12]主要介紹了利用 變換法求解常系數線性微分方程,即通過作 變換,將方程化成關于像函數的代數方程,然后求出 逆變換,即可得出原方程的解.
本文正是在文獻的基礎上,主要針對三種常用的變量代換法——函數變換法、 變換法和 變換法,對其在不同類型微分方程求解中的應用進行分類討論,并結合具體的實例加以分析,使其更加具體化.
1.基本理論
定理1[1]( 收斂定理) 設 是以 為周期的周期函數,滿足 條件:
  , 在 上連續或分段連續,且至多只有有限個第一類間斷點;
  在 上至多有有限個極值點.
那么 的 級數收斂.
定理2[5]( 變換存在性定理) 設函數 在 任何有界區間上分段連續,且當 時, 的增長速度不超過某一個指數型函數,即存在常數 , ,使得
 , ,
常數 稱為 的增長指數. 變量代換法在微分方程求解中的應用:http://www.aftnzs.live/shuxue/20190427/32729.html
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