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Beta函數及其應用+文獻綜述

時間:2019-04-07 18:16來源:畢業論文
介紹了Beta函數的性質及其證明,以及Beta函數和Gamma函數之間的聯系,靈活運用這些可以解決數學運算中的一些問題,本文中通過舉一些實例來說明了它們的應用

摘要  Beta函數和Gamma函數是數學分析里兩個非常重要的積分,文章重點介紹了Beta函數的性質及其證明,以及Beta函數和Gamma函數之間的聯系,靈活運用這些可以解決數學運算中的一些問題,本文中通過舉一些實例來說明了它們的應用.34337
畢業論文關鍵詞  Beta函數;性質;應用
引言
歐拉是18世紀最杰出的數學家之一,他不但為數學界作出了偉大的貢獻,更是把數學推至了幾乎整個物理的領域.歐拉對數學的研究如此的廣泛,因此在許多數學的分支中可以經常見到以他的名字命名的重要常數、公式和定理.歐拉(Euler)積分是他重要的貢獻之一,它是由含參變量廣義積分表示的兩個特殊函數,在數理方程以及概率論與數理統計等學科中經常用到,本文重點闡述Beta函數的性質,揭示Beta函數和Gamma函數所具有的關系及其在數學分析中的應用,從而使復雜的題目有了更為簡單易懂的解決方法,在提高解題能力的同時,也加深了對數學的理解和應用.
1.Beta函數的定義
 
稱為貝塔(Beta)函數,(或寫作 函數).
2.Beta函數的收斂域
定義:設 為函數 的瑕點,若 ,則
     當 時,瑕積分 收斂;
      當 時,瑕積分 發散.
    在積分 中有兩個參數 和 ,當 時, 為瑕點;當 時, 為瑕點,所以要把它分成兩個積分來討論,即
 當 時, ,故 收斂;
當 時, ,故 發散.
同理可證:
當 時, 收斂;
當 時, 發散.
所以, 收斂域為: .
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3.Beta函數的性質及證明
3.1 Beta函數的連續性
 在 連續.
 對任意的 , 在   連續.
 對任意的 與 , 在 一致收斂.
魏爾斯特拉斯M判別法:
設有函數 ,使得
 
若 收斂,則 在 上一致收斂.
貝塔函數在其定義域內連續.
證:對任何 , ,有
  ,
    而 收斂,所以由魏爾斯特拉斯M判別法知, 在 上一致收斂,故而 在 內連續.由 的任意性,可得 在 連續.
3.2 Beta函數的可微性
證: 在  內可微且存在任意階連續偏導數.
    考慮積分 .
    當 , 時,恒有
    ,( )
而 收斂,故積分 在 , 時一致收斂.因此當 , 時可在積分下求導,得
 
并且 是 , 上的連續函數.
同理,  是域 上的二元函數,且當 時可在積分下求導,得
 
完全類似地用數學歸納法可證 在域 上存在連續偏導數,且  .
3.3 Beta函數的對稱性
 
3.4 Beta函數的遞推公式
3.5 若 為正整數,則有
 證:當 均為偶數時,顯然由Beta函數的對稱性和遞推公式推得 Beta函數及其應用+文獻綜述:http://www.aftnzs.live/shuxue/20190407/31810.html
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